अथ घनः |
Now the cube
In लीलावती by भास्कराचार्य घने करण-सूत्रम् वृत्त-त्रयम् |
Methods for cube in 3 stanzas.
Method 1 as in the first stanza in उपजातिवृत्तम्
समत्रिघातश्च घनः प्रदिष्टः ।
स्थाप्यो घनोऽन्त्यस्य ततोऽन्त्यवर्गः ॥
आदित्रिनिघ्नस्तत आदिवर्गः ।
त्र्यन्त्याहतोऽथादिघनश्च सर्वे ॥ २४ ॥
पदच्छेदैः –
सम-त्रि-घातः च घनः प्रदिष्टः | स्थाप्यः घनः अन्त्यस्य ततः अन्त्यवर्गः | आदि-त्रि-निघ्नः ततः आदिवर्गः | त्रि-अन्त्य-आहतः अथ आदिघनः च सर्वे ||
(1) सम-त्रि-घातः च घनः प्रदिष्टः –
- (1-1) सम-त्रि-घातः च = समः (same number) त्रिवारं (three times) घातः (product of multiplication)
- (1-2) घनः प्रदिष्टः = is called as cube
(2) स्थाप्यः (should be placed) घनः अन्त्यस्य (cube of the last) ततः (then)
(3) अन्त्यवर्गः (square of the last) आदि-त्रि-निघ्नः (multiplied by the first and 3) ततः (then)
(4) आदिवर्गः (square of first) त्रि-अन्त्य-आहतः (multiplied by 3 and the last)
(5) अथ आदिघनः च (cube of the first)
(6) सर्वे (all) = सर्वे (संकुलिताः) (all together)
This is really the formula (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
The formula can be used in different ways.
- To find x3 of a given number x, we can split it into two components a आदि and b अन्त्य and employ the formula.
- If x is a two-digit number, the number has one आदि and one अन्त्य
- Of course doing the sum the results a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ned to be multiplied by appropriate power of 10
- There is a complimentary formula (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3. One can find components a and b, such that x = (a – b). Actually (a – b) is same as [a + (- b)]. If one is smart enough to understand this, then only one formula is adequate.
Second stanza also is in उपजातिवृत्तम्
स्थानान्तरत्वेन युतो घनःस्यात्
प्रकल्प्य तद्-खण्ड-युगंस्ततोऽन्त्यम्
एवं मुहुर्वर्ग-घन-प्रसिद्धौ
आद्याङ्कतो वा विधिरेष कार्यः ||२५||
पदच्छेदैः –
स्थान-अन्तरत्वेन युतः घनः स्यात् प्रकल्प्य तत् खण्डयुगम् ततः अन्त्यम् |
एवं मुहुः वर्ग-घन-प्रसिद्धौ आदि-अङ्कतः वा विधिः एषः कार्यः ||२५||
अन्वयः –
- स्थान-अन्तरत्वेन युतः घनः स्यात्
- प्रकल्प्य तत् खण्डयुगम् ततः अन्त्यम्
- एवं मुहुः वर्ग-घन-प्रसिद्धौ
- आदि-अङ्कतः वा विधिः एषः कार्यः
स्थान-अन्तरत्वेन युतः घनः स्यात् –
- स्थान-अन्तरत्वेन
- अन्यं स्थानम् इति स्थानान्तरम् = the other position
- स्थानान्तरम् → त्व = स्थानान्तरत्वम्
- स्थानान्तरत्वम् = case of the other position
- युतः = obtained
- घनः स्यात् = will be cube
- स्थानान्तरत्वेन युतो घनःस्यात् = What is obtained by the other position will (also) be cube.
- If a and b are आदि and अन्त्य respectively, the other position would be –
- To start with आदि, instead of starting with अन्त्य. Note, in the above procedure, we started with the अन्त्य.
- Or, we can consider the other position to be b and a to be आदि and अन्त्य respectively,
- Even in the formula (a + b)^3 = a^3 + 3a^2.b + 3a.b^2 + b^3 or in the formula (a – b)^3 = a^3 – 3a^2.b + 3a.b^2 – b^3, a and b are interchangeable. This is what is to be understood by स्थानान्तरत्वेन युतो घनःस्यात्
Alternatively, we can consider that स्थानान्तरत्वेन युतो घनःस्यात् is continuation of the previous verse, telling that the results obtained be placed स्थानान्तरत्वेन i.e. by other (appropriate) position and युतः i.e. added up घनःस्यात् make the cube.
For cube of a two-digit number, we can consider the number to be sum of a, which is ten times the number at 10’s place and b the number at unit’s place. Then the results of a^3, 3a^2.b, 3a.b^2 and b^3 can be written one below the other by appropriate digital positions, so that summing them up will be easy.
आदि-अङ्कतः वा विधिः एषः कार्यः = The same procedure can be done starting with the first number (the digit at unit’s place).
एवं मुहुः = Repeat this (for more number of parts of the given number, taking two parts at a time)
वर्ग-घन-प्रसिद्धौ = (Such repetition may be applied both for finding) squares and cubes.
The next verse No. 26 is in श्लोक meter.
खण्डाभ्याम् वाहतो राशिस्त्रिघ्नः खण्ड-घनैक्य-युक् |
वर्ग-मूल-घनस् स्वघ्नो वर्ग-राशेर्घनो भवेत् ||२६||
पदच्छेदैः –
खण्डाभ्यां वा आहतः राशिः त्रिघ्नः खण्ड-घन-ऐक्य-युक् |
वर्ग-मूल-घनः स्वघ्नः वर्गराशेः घनः भवेत् ||२६||
There are two methods in this verse.
Method 2 खण्डाभ्यां वा आहतः राशिः त्रिघ्नः खण्ड-घन-ऐक्य-युक्
- वा = Or
- खण्डाभ्यां आहतः राशिः = If number is a product of two parts n = a.b
- त्रिघ्नः = each part multiplying itself thrice i.e. a^3 and b^3
- खण्ड-घन-ऐक्य-युक् = product of cubes of each part, a^3. b^3
- Then n^3 = a^3. b^3
Method 3 वर्ग-मूल-घनः स्वघ्नः वर्गराशेः घनः भवेत् |
- वर्ग-मूल-घनः = cube of square-root
- स्वघ्नः = multiplied by itself, i.e. square of (cube of square-root)
- वर्गराशेः घनः भवेत् = becomes cube of the square.
- Meaning, if given number n is a perfect square, square of (cube of square-root) becomes cube of the number n
- By uni-level writing n^3 = ({n^(½)}^3)^2
- Since square-root will be a smaller number, its cube will be easier. Square of the cube of the square-root will also be easy.
Dr. Avinash Sathaye has rightly pointed out that the verse itself does not point out that the number has to be a perfect square. However since the methods proposed are also for some ease in finding the cubes, I would take it that this method comes handy, if the number is a perfect square.
अत्र उद्देशकः in द्रुतविलम्बितवृत्तम् –
नव-घनंस्त्रिघनस्य घनंस्तथा कथय पञ्च-घनस्य घनञ्च मे |
घनपदञ्च ततोऽपि घनात्सखे यदि घनेऽस्ति घना भवतो मतिः ||२७||
पदच्छेदैः –
नव-घनम् त्रि-घनस्य घनम् तथा कथय पञ्च-घनस्य घनम् च मे |
घन-पदम् च ततः अपि घनात् सखे यदि घने अस्ति घना भवतः मतिः ||२७||
अन्वयार्थाः –
- सखे यदि भवतः मतिः घने घना अस्ति = Dear, if your intellect is well-laden about cubes,
- नव-घनम् = cube of 9
- त्रि-घनस्य घनम् तथा = cube of cube of 3
- पञ्च-घनस्य घनम् च = cube of cube of 5
- ततः अपि घनात् घन-पदम् च = also cube-root of a cube
- मे कथय = tell me
न्यासः details –
- ९/ २७/ १२५/ एतेषाम् क्रमेण ७२९/ १९६८३/ १९५३१२५// घनाः जाताः
अथ वा
- राशिः २७/
- अत्र अन्त्यः ७ तथा आदिः २ (to be taken as २०)
- स्थाप्यः घनः अन्त्यस्य = ७^३ = ३४३
- ततः अन्त्यवर्गः आदि-त्रि-निघ्नः = ७^२.३.२० = २९४०
- ततः आदिवर्गः त्रि-अन्त्य-आहतः = २०^२.३.७ = ८४००
- अथ आदिघनः च = २०^३ = ८०००
- सर्वे total = १९६८३
- राशिः २७/
- अस्य खण्डे ३/ ९/
- एतौ त्रिघ्नौ २७/ ७२९
- खण्ड-घन-ऐक्येन युतः २७ x ७२९
- जातः घन: १९६८३
- राशिः ९/
- अस्य मूलम् ३/
- अस्य घन: २७/
- अस्य वर्ग: जात: नवानाम् घन: ७२९/
- य एव वर्ग-राशि-घन: स एव वर्ग-मूल-घन-वर्ग://
- राशिः ३६/
- अस्य मूलम् ६/
- अस्य घन: २१६/
- अयम् स्व-घ्न: जात: चरुर्णाम् घन: ४६६५६//
इति घन:// That ends discussion about cubes.
Actually since verse 25 has the words एवं मुहुः, in the above न्यासः detailing of the problems in उद्देशक, should have illustrated extending the method to more than two parts, i.e. by splitting the given number n into, say, 3 parts (n = a + b + c). As is known, (a + b + c)^3 = {a + b)^3 + 3(a + b)^2,c + 3(a + b).c^2 + c^3
Explanation of 125^3 would be by taking 125 = 100 + 25
1253 = (100)^3 + 3.100^2.25 + 3.100.25^2 + 25^3
= 1000000 + 750000 + 187500 + 15625
Addition will be easy by putting these in proper digit positions and one below the other.
| 1,000,000 | |
| 750,000 | |
| 187,500 | |
| 15,625 | |
| Total | 1,953,125 |
Note, since 25 is a complete square, 25^3 can be obtained as a subroutine by applying square of the cube of square-root.
- Square-root of 25 is 5.
- Cube of 5 is 125
- Square of 125 is 15625.
- Here again, square of 125 = (12 + 13)x100 + 25 = 15600 + 25 = 15625,
शुभमस्तु !
-o-O-o-
संस्कृताध्ययनम् । 